*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019

On donne ci-dessous la représentation graphique \(\mathscr{C}_g\) dans un repère orthogonal d'une fonction  \(g\)  définie et continue sur \(\mathbb R\) .
La courbe \(\mathscr{C}_g\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan \(y > 0\) .

Pour tout \(t \in \mathbb R\) , on pose \(G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u\) .

Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.

1. La fonction \(G\) est-elle croissante sur \([0~; +\infty[\) ? Justifier.

2. Justifier graphiquement l'inégalité  \(G(1) \leqslant 0,\!9\) .

3. La fonction  \(G\) est-elle positive sur \(\mathbb R\)  ? Justifier.

Dans la suite du problème, la fonction \(g\) est définie sur \(\mathbb R\) par \(g(u) = \text{e}^{-u^2}\) .

Partie B

1. Étude de \(\boldsymbol g\)
    a. Déterminer les limites de la fonction \(g\)  aux bornes de son ensemble de définition.
    b. Calculer la fonction dérivée de  \(g\) et en déduire le tableau de variations de  \(g\) sur \(\mathbb R\) .
    c. Préciser le maximum de \(g\) sur \(\mathbb R\) . En déduire que \(g(1) \leqslant 1\) .

2. On note \(E\) l'ensemble des points \(\text M\) situés entre la courbe \(\mathscr{C}_g\) , l'axe des abscisses et les droites d'équations  \(x = 0\) et \(x=1\) . On appelle \(I\) l'aire de cet ensemble. 
On rappelle que  \(I = G(1) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}u\) .

On souhaite estimer l'aire \(I\) par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.

• On choisit un point \(\text M(x~;~y)\) en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées \(x\) et \(y\) dans l'intervalle \([0~;~ 1]\) . On admet que la probabilité que le point \(\text M\) appartienne à l'ensemble  \(E\) est égale à \(I\) .
• On répète \(n\) fois l'expérience du choix d'un point \(\text M\) au hasard. On compte le nombre  \(c\) de points appartenant à l'ensemble   \(E\)   parmi les \(n\) points obtenus.
• La fréquence \(f = \dfrac{c}{n}\) est une estimation de la valeur de \(I\) .

    a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour \(n = 100\) . Déterminer la valeur de \(f\) correspondant à ce graphique.

    b. L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre \(f\) . Recopier et compléter cet algorithme.
\(\begin{array}{|l|}\hline\text{def mcarlo}(n):\\\quad c=0\\\quad \text{for }i \text{ in range }(1,n+1):\\\qquad x=\text{random()}\\\qquad y=\text{random()}\\\qquad \text{If } y<=\ldots\text{ then} :\\\qquad \qquad c= \ldots \\\qquad f = \ldots  \\\quad \text{return f}\\\hline\end{array}\)